Un problème mathématique résistait aux experts depuis plus de 80 ans. Une IA les a tous surpassés

En 1946, le mathématicien hongrois Paul Erdős posait une question apparemment très simple : si vous placez n points dans le plan, combien de paires de points peuvent être exactement à une distance de 1 les uns des autres ? Ce dilemme est connu sous le nom de problème de distance unitaire dans le plan, et il a retenu de nombreux mathématiciens qui effectuent des recherches dans le domaine de la géométrie pendant pas moins de quatre-vingts ans.

La stratégie classique proposée par beaucoup d’entre eux pour tenter de le résoudre était de recourir à une grille carrée. Ils se sont vite rendu compte que le nombre de paires à une distance unitaire croît au moins comme n à la puissance (1 + C/loglog(n)), où C est une constante positive qui quantifie dans quelle mesure une construction particulière peut être meilleure qu’une grille carrée de base. C’est une idée compliquée, c’est vrai, mais on peut essayer de l’aborder de manière un peu plus intuitive.

Une grille carrée standard produit environ 2n paires de points à une distance unitaire. Si nous le redimensionnons de manière ingénieuse en choisissant le facteur d’échelle comme un nombre qui a de nombreux diviseurs (en théorie des nombres, cette propriété est connue sous le nom de nombre avec de nombreux petits facteurs premiers), vous obtenez plus de paires de points tombant exactement à la distance 1. La valeur de C mesure précisément l’efficacité de ce choix. C’est la clé.

Une IA d’OpenAI a réalisé la première percée majeure en 80 ans

Comme nous le voyons, la question posée par Erdős est très facile à poser, mais extraordinairement difficile à résoudre. Si nous développons un peu plus l’approche classique, nous réaliserons que puisque loglog(n) croît très lentement, l’exposant se rapproche de 0. Cela signifie que la grille carrée ne croît que légèrement plus vite que n, mais pas suffisamment pour dépasser n à un rythme fixe.

C’est pourquoi, pendant des décennies, les mathématiciens ont prédit que la limite supérieure serait d’environ n^(1+o(1)), c’est-à-dire à peine plus grande que n. Nous savons maintenant qu’ils avaient tort, et la personne qui a réfuté cette conjecture n’était pas un mathématicien actuel particulièrement compétent ; Cette étape a été franchie grâce à un modèle d’inférence à usage général qu’OpenAI testait en interne. Et pas une intelligence artificielle (IA) spécialisée dans les mathématiques.

Ce modèle a fourni une famille infinie d’exemples qui produisent une amélioration polynomiale. En fait, il a montré qu’il est possible de construire des configurations de points avec au moins n^(1+δ) paires à distance unitaire, où δ est une valeur fixe supérieure à 0 qui ne disparaît pas à mesure que n grandit. Lorsque l’IA a fourni ce résultat, les chercheurs d’OpenAI ont demandé à un groupe de mathématiciens de Princeton de l’examiner. Et sa conclusion était brutale.

L’IA avait raison. Il s’agit du premier progrès vers la limite inférieure du problème posé par Erdős depuis 80 ans. Et, curieusement, le modèle OpenAI y est parvenu en utilisant des outils avancés de théorie algébrique des nombres pour un problème de géométrie apparemment élémentaire. Plusieurs mathématiciens renommés, tels que Tim Gowers, lauréat de la médaille Fields, ou Arul Shankar, expert en théorie des nombres, ont déclaré que le résultat obtenu par l’IA est une réalisation extraordinaire qui pourrait fournir aux mathématiciens une passerelle pour explorer d’autres problèmes à l’avenir.

Images | Jeswin Thomas

Plus d’informations | OpenAI

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