Un ancien problème de géométrie inquiète les mathématiciens depuis des décennies. Ils l'ont finalement résolu
Les solides d’épaisseur ou de largeur constante fascinent certains mathématiciens depuis des décennies. Si l'on s'en tient à leur géométrie, ces objets tridimensionnels se caractérisent par le fait d'avoir la même largeur, entendue comme la distance entre deux de leurs côtés opposés, mesurée depuis n'importe quelle direction. Le plus curieux est que cette géométrie particulière permet à ces corps rouler comme une sphèresi, par exemple, on les place entre deux surfaces planes. Mais ce ne sont pas des sphères. Et de plus, comme sa largeur est constante, la distance entre les deux surfaces planes lorsqu'elles roulent entre elles est toujours la même.
Dans le domaine de la géométrie, il n’est pas facile de comprendre avec précision de quoi on parle si l’on ne peut pas aller au-delà des mots. Heureusement, l’image de couverture de cet article illustre magnifiquement ce qu’est un solide de largeur constante. Bien entendu, l’objet qui nous intéresse est celui de droite, et il est connu sous le nom de triangle de Reuleaux. Si on l’observe au repos, il est difficile d’accepter qu’il soit capable de rouler comme une sphère. Mais oui, ça roule. Il suffit d'y appliquer une force pour le vérifier. Et la raison pour laquelle cela se produit est simplement parce que, comme nous l’avons vu, l’épaisseur est la même dans toutes les directions.
La question d'Oded Schramm a tout déclenché
En 1988, Oded Schramm, étudiant diplômé en mathématiques à l'Université de Princeton (États-Unis), se demandait s'il serait possible de construire un corps de largeur constante dans n'importe quelle dimension exponentiellement plus petite qu'une sphère. Dans ce contexte, il est important de savoir qu’une sphère est l’objet ayant la plus grande largeur constante en trois dimensions. La question de Schramm peut sembler artificielle, voire hors de propos. Mais ce n’est pas du tout le cas. C’est le genre de questions que se posent les mathématiciens, et souvent la réponse, lorsqu’ils la trouvent, leur donne des connaissances qui ont parfois des applications pratiques très importantes.
Depuis lors, plus de trois décennies et demie se sont écoulées et, enfin, la réponse à la question d'Oded Schramm est arrivée. Ses créateurs sont quatre mathématiciens ukrainiens et un américain. Leurs recherches dans le domaine de la géométrie ont amené leurs chemins à se croiser et ils ont publié fin mai dernier un article scientifique dans lequel ils démontraient que La réponse à la question de Schramm est oui.. Oui, il est possible de construire un corps de largeur constante dans n'importe quelle dimension exponentiellement plus petite qu'une sphère.
Grâce à ces travaux, les mathématiciens qui effectuent des recherches dans ce domaine pourront enfin accéder à une place en géométrie jusqu'à présent inaccessible.
Une fois arrivé à ce point, il est raisonnable de se poser deux questions. La première est évidente : quelle procédure ces mathématiciens ont-ils suivi pour arriver à cette conclusion ? Et, plus important encore, quelles implications cette découverte a-t-elle dans le domaine de la géométrie ? Dans cet article, nous n'allons pas étudier minutieusement la démonstration que ces chercheurs ont développée parce qu'elle est trop compliquée, mais cela ne signifie pas que nous ne pouvons pas nous faire une idée plus ou moins précise de quelle a été leur stratégie.
D'une manière générale, ce qu'ils ont fait pour répondre affirmativement à la question de Schramm a été de prendre le triangle de Reuleaux bidimensionnel comme point de départ. L'algorithme qui permet de construire ce corps d'un point de vue géométrique peut être utilisé pour atteindre des solides de largeur constante dans des dimensions plus élevées. Le problème est que ça devient beaucoup plus difficile construisez cet objet car à mesure que le nombre de dimensions augmente, la différence entre les volumes des corps de largeur constante les plus petits et les plus grands augmente de façon exponentielle. Les mathématiques qui sous-tendent tout ce squelette sont compliquées, mais ce sont ces idées qui leur ont permis de trouver la réponse à la question posée par Schramm à la fin des années 80.
Quoi qu’il en soit, il est encore plus intéressant de découvrir quelles sont les implications possibles des travaux de ces cinq mathématiciens. Il est intéressant de noter que le triangle de Reuleaux a depuis longtemps des applications pratiques. En fait, il est utilisé sur les pointes de certains forets, médiators et écrous. Et dans des dimensions supérieures, selon Andrii Arman, l'un des mathématiciens qui ont participé à cette recherche, les corps de largeur constante pourraient être utiles pour développer des méthodes d'apprentissage automatique idéales pour analyser des ensembles de données de grande dimension (ce sont des données qui dépendent d'un grand nombre). de variables). Grâce à ces travaux, les mathématiciens qui effectuent des recherches dans ce domaine pourront enfin accéder à une place en géométrie jusqu'à présent inaccessible. C’est en fait la meilleure nouvelle de cet article.
Images | Ramona Trusheim
Plus d'informations | arXiv | Magazine Quanta
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